Что подскажете по общественному транспорту в Дохе (автобусы, и пр.) и есть ли он там?

Общественный транспорт есть, но совершенно правильно Вам выше порекомендовали такси. Основная причина использовать такси сейчас - это погода, когда на улице +45, то даже короткий маршрут от здания до метро или остановки будет утомительным.

И отвечая на Ваш вопрос выше, чтобы посмотреть основные музеи, старый рынок и посетить торговые центры, пары дней будет достаточно. Уличные локации опять же по причине жары не рекомендовала бы даже планировать.

Прочла, что есть метро с кондиционером.

План есть в интернете. Всё зависит куда вам надо.