Если летать Москва-Бишкек по внутреннему паспорту, отметки где-то ставятся?

Нет, не ставятся, проблем быть не должно. Вопрос только зачем так усложнять, влетели бы в кр по заграну тоже

1) в паспорте — нет

2) если именно через РФ, то никаких подводных

Если из КР, то уже чуть сложнее

2. Отметки в РФ в последнее время не обязательно ставятся. Какой паспорт дадите пограничнику, такой и примут, главное, чтобы был действующий. Могут единственное, если есть регистрация, спросить тот паспорт, на который она оформлена. Но за время жонглирования нами разными паспортами ни разу не спрашивали