Подскажите, принимают в обменниках в Батуми доллары 2006 года без проблем?)

Да, также без проблем принимают доллары 1996, 2003 годов.

Банкоматы (например, TBC), по личному опыту, выдают доллары 1996, 2003, 2006, 2009, 2013, 2017 годов