А подскажите, пожалуйста, проверяют ли пограничники сумму, с которой въезжаешь в страну?

Никак. Не проверяют. Но гипотетически проверить могут.

Гипотетически возможно всё. Но! Согласно закону ввоз иностранной валюты в Грузию не ограничен. На выезд есть ограничения. Узнайте на мидовском российском сайте. По логике вещей: если гражданам РФ можно до 365 дней находиться в Грузии, то о каком обратном билете может идти речь? И Вы не обязаны иметь при себе никакие лари. Можете сказать, что у вас деньги на карточке. Предъявлять ее вы не обязаны. Грузия - радушная туристическая страна, просто так к вам приставать никто не будет.