А флекси купить можно только в визовом центре Британии? На сайте не вижу этой опции

Такой опции нет. Напишите им (TLS) на эл.почту, спросите ближайшие возможные даты. Если дата по флекси не устроит, то на свой страх и риск можно просто подойти в любой день к визовому центру и обратится к охраннику. Он свяжется с сотрудниками и если у них есть возможность, то вас примут. Гарантии в этом случае нет. Но 31 мая принимали без проблем.