Посоветуйте, пожалуйста, в какой город на побережье Средиземного моря поехать, где пригодные для купания пляжи и недорогое жилье?

Мерсин большой портовый город с не очень чистым морем, я бы не поехала туда. Подойдёт любой город от Алании до Фетхие. Рассмотрите маленькие города типо Газипаши или Кемера

Рекомендую Газипашу

Прицениться можно на букинге

В самом Мерсине пляжей почти нет, те что есть все лето в микропластике. Есть город спутник Эрдемли, рассмотрите его как вариант, и дешевле, и чище.