Нужно ли имея ВНЖ в Эквадоре получать разрешение на работу, например в школе или на курсах преподавателем английского? Есть ли возможность открыть ИП?

Разрешения не нужно. Вы можете заниматься любой разрешённой законом деятельностью. Если какая-либо деятельность требует получения соответствующей лицензии - надо её получить. ИП открыть можно, можно даже LLC с одним учредителем открыть