Могу ли я ровно в день выезда выехать из Казахстана, или же нужно выезжать за день раньше?

Поезд будет на границе уже 13 июня. Если это будет 91 день пребывания - значит, уже превышение сроков, выпишут протокол с предупреждением (если в первый раз)

Если отвечать на изначальный вопрос - то с точки зрения уведомления на eqonaq вам, как туристу, неважно, в день выезда или какой-то другой уехать, это никого особо не волнует.

У вас другая проблема - поезд на границе будет на 91 день вашего пребывания в РК