Можно ли приехать к другу, если он возьмёт разрешение в мвд и просто не выехать, остаться там работать. Какие документы нужно будет получить, чтобы моё пребывание там было легальным?

Да какие могут у него быть проблемы? Если друг попрощался и сел в такси до аэропорта, то что можно сделать, есть он не улетел? По факту думаю никаких нет названий за это...

@סרגיי: Наказать выдавшего приглашение, тем более, зарегистрированное в МВД. Об ответственности - обязательная фраза для приглашения. Полагаю, что это не просто пустые слова, чтобы пограничник проникся.