Подскажите пожалуйста, в каком банке Эстонии могут быстро сделать карту? И какой вообще можете посоветовать?

Ни к каком. Если вы не проживаете в эстонии и не имеете легального дохода. Попробуйте lhv, если у вас есть гражданство.. но не факт

Делал в LHV удаленно. Имею эст гражданство.

LHV онлайн регистрация даже по временному ВНЖ. Карту можно выпустить виртуальную и добавить в Apple Pay. Также есть Wise, Revolut