Подскажите пожалуйста есть ли какие то варианты остаться в стране подольше, с гражданством Израиля, кроме как получение ВНЖ? Есть ли какие то визы?

Визы есть, как и у любой страны в мире, но вряд ли вам ее оформят внутри страны, плюс основания нужны, читайте сайт посольства чг в израиле и соседние с чг страны, где посольства есть и делают визы.

А вам как долго подряд можно пребывать?

Я просто каждые три месяца езжу на визаран, живу два года уже.

У меня американское.