Скажите пожалуйста, может знает кто, как можно из Грузии поменять паспорт гражданину Беларуси?

В посольстве.

Скорее всего только с внж.

Да, если у вас естьоснования для длительного нахождения в Грузии (ВНЖ, болезнь, требующая длительного лечения здесь под наблюдением, например)