Скажите, пожалуйста, в какие моменты в течение времени в аэропорту/на регистрации/при посадке/в самолёте собака обязательно должна быть в переноске?

Да, на регистрации в перкноске, т. к. взвешивают, а далее можно как угодно. Упакуйте чтобы взвешать, а потом выпустите. Очередь до регистрации тоже можно без переноски стоять.

У некоторых аэропортах вроде есть в правилах, что нельзя, чтобы животное находилось вне переноски, но я, к сожалению, не помню, где это могло требоваться