Взяли собаку уже с вакциной, поставили ее в другом городе, в паспорте все как надо, но бывшая хозяйка ходила в свою ветеринарку и там в базе не нашли данные о вакцине (

Вам не уточняли, в какой базе они смотрели? По идее сббж выдают справки по паспорту. Если в вашей сббж придираются, идите в другую.

Базы в сббж не нужны никому, в её ветеринарке скорее всего чекнули какой-нибудь animal id, его никто не проверяет.