Подскажите, как можно забронировать жилье, не имея карты Виза или МастерКард?

Если речь про букинг, то никак, только с местными картами или картами которые не относятся РФ.

Мы бронировали через букинг, с рос. картой, где предоплата не требовалась (тинкофф)

Через приложения Тинькофф , Альфа . Там сразу можно оплатить бронь.