Подскажите, виза действует до 14.06. Сейчас подала документы на новую. Вопрос, когда получу новую визу с 15.06, будет ли действовать до этого периода старая (которая до 14.06)?

Не уверен, но по моему нет. ее перечеркивают в паспорте.

Виза куда?

Старая виза остаётся. Только что в Эстонии получала новую, как раз запрашивала после окончания предыдущей (заранее). Старую не тронули, новую дали с указанной даты первой поездки.