Подскажите пожалуйста в Новом Афоне самостоятельно можно попасть в монастырь.

Да.

Одеваться не обязательно, всё дадут бесплатно - юбку и косынку, даже мужчинам, если они в шортах. Кстати это приятно удивило, что это бесплатно, включая вход и туалет)