Подскажите, пожалуйста, что будет если остаться в Абхазии больше чем на 90 дней? Потом когда обратно границу буду проходить, будет ли какой-то штраф? Или может ещё что-то? Или как-то повлияет на дальнейшее пересечение границы?

А вы как ерунду от неерунды отличите? Учёт въезжающих не ведётся. Штампы в паспорт не ставятся. Въездные визы гражданам РФ не требуются. Подобный контроль только предполагается ввести, но когда и как, никто пока не знает. Даже если наши пограничники что-то где-то отмечают, максимум, что вам грозит — статус налогового нерезидента по истечении 183 дней пребывания за пределами РФ. И то нужно будет постараться доказать, что вас действительно не было в России всё это время.