Подскажите, пожалуйста, если у меня договор с иностранной компанией, которая будет платить мне деньги раз в месяц, я всё равно так же выставляю им инвойсы?

Да, традиционный процесс: вы выставляете инвойс (в нём указываете, за что), клиент оплачивает инвойс, вы через бухгалтера подаёте в налоговую счёт-фактуру и уплачиваете налоги и взноси.