Сыну 14 лет, нужна ли доверенность от отца на поездку в Азербайджан?

Запрета если нет, то не нужна.

Если нет развода, то достаточно согласия одного из родителей. А если есть развод между родителями, то оба должны дать согласие через нотариус.

Моя жена постоянно летает из Москвы в Баку и обратно. Никаких документов на разрешение на поездку с ребёнком никто никогда у неё не спрашивал. Ни в Москве ни в Баку.