Подскажете, в аэропорту Тбилиси можно оплатить за багаж картой? И сильно ли придираются к ручной клади +/- 1килограмм?

Про карту не знаю. Но придирки по весу не зависят от аэропорта. Это зависит от авиакомпании. Грузинские авиалинии нас пропускали с большим перевесом, а Аэрофлот даже 200 грамм не простил.