Не подскажите пожалуйста: Для подачи на шенгенскую визу обязательно внж Сербии? А как обстоят с подачей на визу США?

Да все верно. На шенген, находясь в другой стране, нужен ВНЖ, т. к. технически шенген можно получать в России (собственно у меня теща уже второй французский получает в РФ), В США можно подаваться в любой стране (т. к. в России визы не выдают туристические). США очень трепетно относится к потенциальной иммиграции, поэтому отсутствие близких связей с родиной (нет работы в РФ, нет недвижимости, нет близких родственников, да просто не были там больше года) - все работает на снижение шансов получения визы.