Подскажите пожалуйста, аннулируют ли старый загранпаспорт РФ при получении нового? Или можно оставить рабочими оба?

Можно несколько иметь загранников одновременно. Надо просто отметить, что у вас еще есть на руках релевантный.

Если второй у вас биометрический, то нет, первый будет действовать как обычно.

Если второй паспорт получаете пятилетний, то первый аннулируется. Если второй биометрический на 10 лет, то первый сохраняется.