Подскажите, как доехать от Каты до Патонга ?

Такси либо аренда авто/байк.

Такси болт скачайте.

Smart bus phuket ходят автобусы в обе стороны (у них маршрут от аэропорта до равай и обратно). 1 поездка 100 бат. посмотрите в интернете, у них есть сайт, там расписание и отмечены на карте остановки.