Если постоянно живешь на северном кипре, при наличии шенгена, можно ли перейти на южную сторону слетать на недельку в европу, вернуться на южный кипр, и вернуться на северный кипр через границу и продолжить тут жить, можно ли так делать?

Если вы изначально залетели на остров через Эрджан, то есть нюансы и немаленькие. Также как и ваше гражданство. Но судя по наличию Шенгена то вопрос с гражданством отпадает. Я бы не стал так делать.

Если вы влетели через Эрджан, то так нельзя. Если вы влетели через аэропорты южного Кипра, то можно. Но при пересечении наземной границы юг не обнуляет дни прибывания у себя, поэтому с шенгеном постоянно жить на Северном Кипре и не нарушать визовый режим южного в таком варианте невозможно.