Нашел информацию на официальном сайте, что можно ввозить нерезидентам наличными до 20 000 манат без письменной декларации в Азербайджан. Я правильно понял?

10000 долларов без декларации можно насколько мне известно.

Вы все правильно поняли. Никаких ограничений на ввоз национальной валюты нет. Все что до 20 К - в устной форме декларируете "я привез с собой столько то AZN". Все что больше 20 К - в письменной форме.

Да, правильно. Но, нет смысла покупать манаты в России. Во-первых, курс будет ниже. Во-вторых, если все не потратите придется обратно покупать доллары/рубли-опять лишние потери. Лучше доллар/евро и менять по мере надобности.