Кто оформляет визу в Румынию? Как вообще это делается? Нужно идти в посольство с документами и там подаваться? Без записей и прочего?

Это видимо зависит от страны, в Казахстане приём заявлений только онлайн на сайте.

Продаетесь сначала онлайн, затем вам на почту приходит день очной подачи в посольстве.