Подскажите, пожалуйста! Почти израсходованы 90 безвизовых дней за полугодие, каждый раз по окончании 30-дневного срока был выезд из Монголии.

Нельзя. За полугодие можно находится только 90. Делайте себе учебную или гостевую визу и оставайтесь дальше.

Можно, но только если есть паспорт еще какой-нибудь страны. У меня подруга сначала по одному паспорту тут жила, потом по другому, как гражданин еще одной страны. Максимум 90 дней за полугодие по каждому из гражданств.