Можно ли из России, удаленно оформить на себя банковскую карту в Монголии? И как это сделать? Кто может помочь?

Это невозможно.

Да, куча документов нужна, и лично подписи. В банках тоже лично, с подписью и фото на камеру. В большинстве банков ещё местный инн нужен, его в налоговой лично оформляют. В Голомте можно без инн, но они после заполнения анкеты ещё думают пару дней потом перезванивают и сообщают, что можно прийти оформить документы, и потом ещё неделю карту ждать. С курсами сейчас ужесточилась, некоторые закрылись, а те, кто в вузах числится если не ходят на занятия, их официально отчисляют без продления внж, иначе у вузов будут проблемы, а им это не надо.