Подскажите, пожалуйста, нужно ли отказываться от российского гражданства при получении сербского?

Нет, если Вы вступаете в брак с гражданином/гражданкой Сербии или получаете гражданство за особые заслуги перед Сербией (указом Президента)... Да, нужно отказываться во всех других случаях.