В Монголию я могу приехать, получить штампик и находиться 30 дней. Параллельно я могу работать?

Да, а если заходите остаться подольше, можно продлить в миграционной службе ещё на 30 дней. Работать сможете удалённо. Только зачем работать, если Вы в отпуск собрались? .

Вы можете оформить ВНЖ на основании визы Н3 (поручительской) и по ней спокойно работать.