Первый раз полечу в Абхазию, подскажите пожалуйста, где лучше остановиться ?

Смотря какой отдых вы предпочитаете, природа это новый Афон, если нужна "цивилизация" то Гагры или Сухум.

На мой взгляд логика при таком выборе простая: вне сезона это Гагра и Сухум, а в сезон наоборот - что угодно кроме них.