Может быть была у кого такая ситуация, что кого-то не впустили в Армению или не выпустили по причине скорого истечения паспорта? Часто ли такое бывает?

Выпустить то выпустят, но вот могут не впустит в страну, развёрнут на паспортном контроле. Но можно сделать второй паспорт и выехать с двумя паспортами.