Скажите пожалуйста есть ли какой то дресс-код в Катаре, или можно свободно одеваться как угодно?

Особенные правила только в Рамадан, а так, в целом, обычно можно одеваться. Главное не забывать уважать чужую культуру.

Мужчин в шортах не пускают в государственные учреждения, больницы и т. п.

Общая концепция: низ - закрывает колени, верх - закрытые плечи.