Может ли гражданин Молдовы выехать из России и въехать через Казахстан сразу, не через 3 месяца, как мне сказал начальник УФМС?

Нельзя. Граждане Молдовы могут находиться в России не более 90 дней каждые 180 дней. И это не зависит от того, в какую страну вы выедете.