А если получить справку на выезд питомцу в Казахстан Кыргызстане, то можно ли будет по этой же справке вернуться обратно через 4 дня? Или нужно будет там получать новую? Можно ли прописать маршрут Бишкек-Алматы-Бишкек?

Если в справке будет указана инфо о возврате, то можно конечно (например, в 5а это прописано) https: //rabbitsleavingrussia. wiki/w/%D0%92%D1%8B%D0%B5%D0%B7%D0%B4_%D0%BD%D0%B5_%D0%B8%D0%B7_%D0%A0%D0%BE%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B8#%D0%9A%D1%8B%D1%80%D0%B3%D1%8B%D0%B7%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD Вот тут статья про выезд не из РФ, есть Кыргызстан.