Летим из Владивостока на Пхукет с ребенком. Нужны ли, помимо загранпаспортов, российские документы (в частности свидетельство о рождении со штампом о подтверждении наличия гражданства РФ)?

Возьми все документы, не помешают.

Я брала разрешение от отца, но не пригодилось. Кто его знает, что в голову взбредет.

Брать обязательно. Спросят/не спросят - как повезет. Зависит от возраста ребенка, от того, что у него там в паспорте. Если ему 10, то он сможет ответить на вопросы пограничников: кто он, что за тетя с ним, дату рождения назвать и т. п. А если ребенку 3, то как вы докажите кто вы ему вообще, если у пограничников какие-то сомнения возникнут? Иной раз что и ребенок тот самый фиг докажешь, когда ребенку, например, паспорт в месячном возрасте делали и в нем фото какого-то головастика.