Подскажите, пожалуйста, если визу Италии получали через консульство одной страны шенгена, то нормально ли только влететь в эту страну, а потом направиться в другую страну шенгена?

По правилам шенгена вы должны провести бОльшую часть времени в той стране, которая выдала визу. Но это не строго каждый раз и даже не каждую визу. Но правило такое есть. Страна въезда не важна. Но если это другая страна, пограничник может попросить показать билеты в страну визы. Но это не так часто просят.