Скажите, а можно поменять в Израиле фамилию на фамилию бабушки, а в России остаться на своей нынешней?

Знакомая так сделала полгода назад.

Вы меняете в Израиле, в израильских документах. Израиль не интересует ваши фио в другой стране, как и РФ не интересует ваше ФИ в Израиле. В израильских, ваше прошлое имя и фамилия будут стоять в скобках 7 лет. Потом только удалят. Обычная практика, кстати.