Когда регистрация пройдена можно выходить из аэропорта с животными? Обратно запустят?

Можно.

Конечно). Её же можно даже онлайн сделать. Можно хоть домой уехать, а потом на досмотр сразу прийти. И после досмотра выпустят, только заново досматриваться нужно будет.