Подскажите, если животное летит в салоне, а вроде как есть правило что ручная кладь - это 1 сумка, то получается, что кроме переноски в салон свою сумку нельзя?

Можно. За животное вы платите отдельно.

Если вы не летите американскими авиакомпаниям, то вы можете пронести в салон ручную кладь, один предмет помимо ручной клади и оплаченные животное.