Подскажите, как быстрее открыть счёт в каком-то приличном банке который отправляет Swift в Грузии?

Быстрее всего откроет банк Кредо. В целом, свифт доступен и там. Так же, попробуйте ТВС банк и Сакартвело (БоГ или Bank of Georgia).