Может кто сталкивался с данной ситуацией или знает как правильно поступить?

Проблем не будет. Корейскую границу проходите по ID. Российскую в россию по справке, обратно по новому паспорту. По прибытию в корею надо будет наверно сходить в эмиграционку. Пока действительна ID виза не нужна.

Проблем быть не должно. Можно через hikorea некоторые данные паспорта изменить, если не ошибаюсь, то номер и даты действия Тоже в ближайшее время поеду домой паспорт менять на новый.