Подскажите пожалуйста, кто перевозил животных. Если в паспорте животного указан другой владелец, это имеет значение. Нужно ли менять как-то?

Вообще, владелец только может переводить.

Все справки должны быть на имя того, кто везёт. Люди в других группах писали, что от руки дописывали фамилию перевозчика в паспорт животного, и, оформляли на него необходимые справки.

Когда регистрируете вывоз животного на сайте россельхоза, там есть пункт, где вписывается хозяин и рядом можно вписать перевозчика, если перевозит не хозяин.