Подскажите, пожалуйста, я подала документы на получение гражданства по рождению в Посольство Молдовы в Москве. Какой документ мне дадут в результате? Авиз?

Если будете потом паспорт делать в консульстве в Москве, то ничего не нужно. Вас просто уведомят о положительном решении и скажут записываться на подачу документов на паспорт, сначала если нужно то на перерегистрацию актов гражданского состояния. Если паспорт будете делать в Молдове, тогда нужно уведомить об этом консульство и получить авиз на руки.