А если я планирую несколько дней пожить в отеле в южной корее и за это время найти квартиру для дальнейшего проживания, я могу указать в анкете отель?

Разумеется. Надо же что-то указать. По факту будет бронь отеля - и достаточно. Но лучше, чтобы бронь отеля совпадала со временем пребывания на момент пересечения границы. Предоплату же не требуют везде. По факту заселения в первую гостиницу уже можно планы менять.