У меня есть паспорт гражданина Армении и социальная карта, но нет прописки и договора найма жилого помещения. Могу я в каком нибудь банке открыть счет и получить дебетовую карту или нет?

Без прописки/ договора аренды/справки о проживании, трудового контракта- очень сомнительно, что кто-то откроет вам карту, пробуйте обращаться в несколько офисов, Арарата, Ардшина, может ещё кто согласится, а так прямая дорога в Юнибанк, но это будет скорее всего по нерезидентским тарифу-50 т в год.

Если сможете предоставить всякие НДФЛ, то банки откроют счет вам.