Подскажите, пожалуйста, как из аэропорта Кутаиси на поезде добраться до Батуми? До станции ещё ехать надо?

Нет, можно не ехать. Есть автобусы прям у аэропорта стоят. Либо можно купить билет заранее, загуглите Georgian bus.

Там ходит бесплатный трансфер до жд станция. Билет на поезд можете купить онлайн либо на оф сайте, либо на сайтах, продающих билеты на мероприятия.

Также с той же станции ходит электричка 2 раза в день. Цена - 2 лари до Батуми с человека. Купить билет сможете только в кассе. Расписание есть в интернете.