Скажите, как можно гражданину Украины находится больше 90 дней в КР?

Зарегистрироваться в квартире на полгода, либо из объявлений за 1800 сом, либо арендодатель регает.

Только виза. Визу можно получить в посольстве КР в Казахстане - это будет первая (въездная) виза. Срок (как правило) 30 дней. Будут давать на больший срок - сразу соглашайтесь. Пусть будет даже чуть дороже. Потом визу надо будет уже продлевать в Кыргызстане. Но будут давать только на полгода. И так каждые полгода продлевать. Чтобы в Казахстане зря время и нервы не тратить, воспользуйтесь визовой поддержкой МИДа КР.

Можете подать на статус беженца. Рассмотрение 6 месяцев - 99% отказ, но срок ожидания абсолютно легальный. Ну и хочу напомнить что граждан Украины на могут депортировать из-за отсутствия авиасообщения. Так что даже за несколько лет проживания без всяких документов максимум могут давать штрафы (которые можно не оплачивать в теории) ну либо депортацию на 5 лет и то ПОСЛЕ вашего добровольного выезда из страны.