Если переехал на новую квартиру, а уведомление будет сделано недели через 3 только, но не от даты заезда, а от даты подачи, это как-нибудь всплыть может или все нормально будет?

Если вы в течение этих трех недель не подаете документы на РВП/РПП, то никак нигде не всплывет.(Не будем рассматривать ситуацию, что полиция ворвалась в квартиру с проверкой документов).